Доказать, что при любом n ∈ N выполняется равенство

аноним
почти 4 года назад
1

1 ответы

- аноним
$\frac{1}{a(a+1)}+ \frac{1}{(a+1)(a+2)}+ \frac{1}{(a+2)(a+3)}+...+ \frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$
Преобразуем каждое слагаемое:
$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$
$\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}$
$\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}$
....................................
$\frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n}$
Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей:
$(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} )+( \frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2})+( \frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3})+...+( \frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n})=\frac{n}{a(a+n)}$
$\frac{1}{a}-(\frac{1}{a+1}+ \frac{1}{a+1})-(\frac{1}{a+2}- \frac{1}{a+2})-(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+3})-...-(\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n-1} )-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$
$\frac{1}{a}-0-0-0-...-0-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$
$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$
$\frac{1*(a+n)-1*a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$
$\frac{a+n-a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$
$\frac{n}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$
Доказано.

Последний по теме Математика

Диаграмму можете не составлять, просто решите сколько сотрудников. Построить круговую диаграмму расп

почти 2 года назад
1

для шиття 14 однакових суконь потрібно 54 м тканини скільки буде потрібно тканини для шиття 21 сукні

почти 2 года назад
1

Вычислите: (7-8 4/5)*2 7/9-15:(1/8-3/4)=???

почти 2 года назад
1

С двух станций, расстояние между которыми 156,4 км вышли одновременно в одном направлении скорый и т

почти 2 года назад
1

З одного міста в протилежних напрямках одночасно вирушили два автомобіля.Через 2,5 год між ними була

почти 2 года назад
1

На пошив 45 платьев израмходовали 40м 5дм, а на пошив 14 брюк израсходывали 25м 2дм. Сколько ткани п

почти 2 года назад
1

Вычислить усто: P = 28 см S = ? (квадрат)

почти 2 года назад
2

Задание 3. Запиши краткую запись и реши задачу. Найди периметр прямоугольника, если известно, что 40

почти 2 года назад
1

2 Ав -диаметр окружности с центром 0 найдите координаты центра окружности если А( 6:4 и В ( -2 -5 и

почти 2 года назад
0

25 балла, изи пример . Решите два примера. Используя свойства деления! (963-690):3 (990+99):9

почти 2 года назад
2